найти площадь равнобедренного треугольника с углом при основании 30, если радиус вписанной в него окружности равен r

"Вспоминаем" подходящие формулы.

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный тр-к:

r = b/2 * √ (2a-b) / (2a+b), где b - основание, а - боковая сторона.

b = 2aCosα, где b - основание, а - боковая сторона, α - угол между ними.

Площадь S=1/2*a*b*Sinα

Вставляем известные величины: r = (2aCosα/2) * √ (2a-2aCosα) / (2a+2aCosα) =

aCosα√[ (1-Cosα) / (1+Cosα) ]. Тогда а=r / (Cosa*√[ (1-cosa) / (1+cosa) ]) = r / (cosa√[sin^2a / (1+cosa) ^2]=r (1+cosa) / (cosa*sina).

b = 2a*Cosa

S = (1/2) * a*b*Sina = (1/2) * r (1+cosa) * 2a*cosa*sina) / (cosa*sina) = r (1+cosa) * r * (1+cosa) / (cosa*slna) = r^2 * (1+cosa) ^2 / (cosa*sina) = r^2 * (1+2cosa+cos^2a) / (cosa*sina).

Sin30=1/2. Cos30=√3/2. Тогда

S=r^2*4 * (4+4√3+3) / (√3*4) = r^2 * (7+4√3) / √3 = 8,005*r^2 = ~8r^2.

Ответ: S = 8r^2.