В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) на боковой стороне АВ, как на диаметре, построена окружность, которая пересекает стороны АС и ВС в точках М и N. Найти длину боковой стороны, если ВN=7 см, МС=3 см.

АВ=ВС, АВ - диаметр окружности. Окружность пересекает стороны АС и ВС в точках М и Н соответственно. ВН=7 см, МС=3 см.

Построим отрезки ВМ и АН, которые пересекаются в точке К.

∠ВМА=∠ВНА=90° так как они вписанные в окружность и опираются на дугу в 180°.

В равнобедренном тр-ке АВС ВМ⊥АС, значит АМ=МС ⇒ АС=2 МС=6 см.

Тр-ки АНС и ВМС подобны т. к. ∠С - общий и оба прямоугольные.

Пусть НС=х, ВС=ВН+НС=7+х.

ВС/МС=АС/НС,

(7+х) / 3=6/х,

7 х+х²=18,

х²+7 х-18=0,

х>0, значит х≠-9, х=2.

НС=2 см,

АВ=ВС=7+2=9 см - это ответ.