В прямоугольном триугольнике бисектриса делит гипотенузу на отрезки 15 и 20 см. На какие отрезки делит гипотенузу высота?

Известно: биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам (в нашем случае-катетам),

т. е. дано отношение катетов 15:20 = 3:4

отношение катетов - - это тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике и дальше можно решать, используя основное тригонометрическое тождество, а можно составить систему:

обозначим катеты 3 а и 4 а (отношение 3:4), гипотенуза, очевидно, = 35,

требуется найти части: х и (35-х)

для прямоугольного треугольника известно:

квадрат катета = произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу

{ (3 а) ² = 35*х

{ (4 а) ² = 35 * (35-х)

выразим из первого уравнения: а² = 35 х / 9

подставим во второе: 16*35 х / 9 = 35 * (35-х)

16 х / 9 = 35-х

(16 х+9 х) / 9 = 35

25 х = 7*5*9

х = 63/5 = 126/10 = 12.6 один отрезок

35-12.6 = 22.4 другой отрезок