В равнобедренном треугольнике основание и высота равны по 8 см. Точка А удалена от плоскости треугольника на 12 см и равноудалена от его вершин. Найдите расстояние от точки А до вершин

Сначала - вспомогательная задачка. Есть равнобедренный треугольник, заданы высота h и основание a, надо найти радиус описанной окружности.

Самый простой (с точки зрения работы мозга, а не с точки зрения тупого применения формул) способ - рассматривать высоту треугольника, как высоту кругового сегмента, отсекаемого хордой длины а. Расстояние до хорды тогда R - h, и мы имеем соотношение (R - h) ^2 + (a/2) ^2 = R^2; откуда R = (h^2 + (a/2) ^2) / (2*h);

При а = h; R = h * (1/2 + 1/8) = 5*h/8; (полезно запомнить); при h = 8; R = 5.

Теперь - собственно решение задачи.

Поскольку А равноудалена от вершин треугольника, её проекция на основание - это центр описанной окружности, а проекция наклонной из точки А равна R = 5;

Поэтому расстояние от А до вершины (любой) равно корень (5^2 + 12^2) = 13;