В круговой сектор, дуга которого содержит 60 градусов, вписан круг. Найти отношение площади этого круга к площади сектора.

Круговой сектор АОВ: <АОВ=60°, радиусы ОА=ОВ=ОМ=R

Вписанная окружность с центром О₁ касается стороны ОА в точке К, стороны ОВ - в точке Н и дуги АВ - в точке М. Радиусы О₁К=О₁М=О₁Н=r

Т. к. касательная перпендикулярна к радиусуокружности, проведённому в точку касания, то О₁К⊥ОА, О₁Н ⊥ОВ

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечении биссектрис, значит ОМ - биссектриса угла АОВ (<АОМ=<ВОМ=60/2=30°)

ОО₁=ОМ-О₁М=R-r

Из прямоугольного ΔОО₁Н: О₁Н=ОО₁*sin 30 = (R-r) * 1/2

r = (R-r) * 1/2

R=3r

Площадь сектора Sс=πR²*60/360=πR²/6=π*9r²/6=3πr²/2

Площадь круга Sк=πr²

Sк/Sс=πr² / 3πr²/2=2/3

Ответ: 2:3