Из вершины A треугольника ABC проведена медиана AM=ma. Доказать, что ma <1/2 (b+c), где b=AC и c=AB.

Решение: 1) Пусть ВС = h → BM=1/2h u MC=1/2h

2) рассмотрим треугольник АМС, проведем медиану МN→ СN=1/2 b и NA=1/2 b.

3) Пусть МN=e

Рассмотрим треугольник AMN: ma меньше e+1/2b, e меньше 1/2b+ma, 1/2b меньше е+ma.

4) пусть МО=k

5) рассмотрим ∆АОМ: 1/2 с меньше k+ma; k меньше 1/2 с+ma; ma меньше 1/2 с+k.

6) т. к. ma меньше е + 1/2 в и меньше 1/2 с+к, значит ма меньше 1/2 (в+с)

Ч. т. д.