В треугольнике АВС проведены биссектрисы АА1 и СС1. К и М - основания перпендикуляров, опущенных из точки В на прямые АА1 и СС1.

а) Докажите, параллельность прямых МK и АС.

б) Найдите площадь треугольника КВМ, если известно, что АС=10, ВС=6, АВ=8.

Ответ: 2,4.

Продлим BK и BM до пересечения c AC в точках P и Q соответственно. Тогда AK - биссектриса и высота треугольника ABP, а значит ABP - равнобедренный (AB=AP) и AK - его медиана, т. е. BK=PK. Аналогично, для треугольника CBQ, CQ=BC и BM=QM, т. к. CM его высота и биссектриса. Таким образом, MK - средняя линия треугольника QBP, т. е. MK||AC, что доказывает пункт а).

CP=AC-AP=AC-AB=10-8=2

AQ=AC-CQ=AC-BC=10-6=4

Значит, QP=AC-CP-AQ=10-2-4=4.

Итак, если обозначить через h высоту треугольника ABC, проведенную к AC, то S (KBM) = MK * (h/2) / 2 = (QP/2) * h/4=QP*h/8. Т. к. ABC - прямоугольный (6^2+8^2=10^2), то h=6*8/10=4,8, т. е. S (KBM) = 4*4,8/8=2,4.