В треугольнике ABC BM-биссектриса. Площади треугольников ABM и CBM относятся как 1:3, AB=4 см. Найдите стороны треугольника.

Если площади тр-ков АВМ и СВМ относятся как 1:3, то и основания этих тр-ков АМ и СМ относятся как 1:3, потому что высоты у этих тр-ков одинаковы, а площадь тр-ка рана половине произведения основания на высоту. Обозначим х = АМ, тогда СМ = 3 х.

Обозначим углы: уг. АВМ = уг. СВМ = алфа, уг. АМВ = бета, уг. СМВ = 180 - бета.

Рассмотрим тр-к АВМ: по теореме синусов sin алфа / х = sin бета / 4, откуда

sin алфа / sin бета = х/4 (1)

Рассмотрим тр-к СВМ: по теореме синусов sin алфа / 3 х = sin (180-бета) / ВС. Поскольку sin (180-бета) = sin бета, то

sin алфа / sin бета = 3 х/ВС (2)

Приравняем правые части равенств (1) и (2)

х/4 = 3 х/ВС, откуда ВС = 12

Используем неравенство треугольника для тр-ка АВС: сумма двех сторон всегда больше третьей стороны:

АВ + ВС > АС или 4+12 > 4 х, получаем х < 4 (3)

АВ + АС > BC или 4 + 4 х > 12, получаем х > 2 (4)

Итак, 2
Ответ: ВС = АС = 12