Дан треугольник ABC, на стороне AC взята точка E так, что AE:EC=a, а на стороне AB взята точка D так, что AD:DB=b. Проведены отрезки CD и BE. Найти отношение площади получившегося четырёхугольника к площади данного треугольника.

Точка пересечения CD и BE - M, третья чевиана AF;

Тогда из теоремы Ван-Обеля

AM/MF = AD/DB + AE/EC = a + b;

или

AM/AF = (a + b) / (a + b + 1);

Из теоремы Чевы

(AD/DE) (BF/FC) (CE/EA) = 1; то есть BF/FC = a/b;

или, то же самое, BF/BC = a / (a + b); CF/BC = b / (a + b);

То есть если площадь ABC равна S, то площадь ABF равна

Sabf = S*a / (a + b);

Если сравнить площади треугольников ABF и ABM, у которых общая сторона AB, то они пропорциональны расстояниям от точек F и M до AB; а эти расстояния пропорциональны AM и AF; то есть

Samb/Safb = AM/AF = (a + b) / (a + b + 1);

далее, отношение площадей треугольников AMD и AMB равно b / (b + 1);

собирая все это, можно получить

Samd = S*a / (a + b) * (a + b) / (a + b + 1) * b / (b + 1)

точно также можно найти

Same = S*b / (a + b) * (a + b) / (a + b + 1) * a / (a + 1);

и остается сложить.

Saemd/S = ab (1 / (a + 1) + 1 / (b + 1)) / (a + b + 1) = (a / (a + 1)) (b / (b + 1)) (a + b + 2) / (a + b + 1) как то так ...