В равнобедренном треугольнике основание равно 6 см, а боковая сторона 5 см. Найти расстояния от точки пересечения высот треугольника до его вершин.

Нарисуем равнобедренный треугольник АВС.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке (см. теорему).

В равнобедренном треугольнике расстояние от вершин основания до точки пересечения высот равно, поэтому для решения достаточно двух высот.

Проведем 2 высоты треугольника АВС:

одну к основанию - ВМ, вторую к боковой стороне - АМ

Точку пересечения высот обозначим О.

Рассмотрим треугольники АВН и АНС.

АН - общий катет этих прямоугольных

треугольников.

Сторона ВС делится высотой на отрезки ВН=х и НС=5-х

Составим по формуле Пифагора выражение для высоты АН из этих двух треугольников и приравняем их.

АН² = АВ²-ВН²

АН²=АС² - (5-х) ²

5²-х²=6² - (5-х) ²

25-х²=36-25+10 х-х²

10 х=50-3610 х=14 х=1,4

Из тр-ка АНС найдем НС

НС=5-1,4=3,6

Чтобы найти АО, нужно знать длину АН

АН²=АС²-СН²=36-12,96

АН=4,8

Треугольники ВОН и АОМ подобны - в них равны острые вертикальные углы.

Для прямоугольного треугольника этого достаточно, так как остальные 2 угла тоже равны.

По этой же причине подобны АНС и ВОН (равны углы НАС и ОВН в прямоугольных треугольниках)

ВН: АН=ВО: АС

1,4:4,8=ВО: 6

4,8 ВО=8,4

ВО=1,75

ОН²=1,75²-1,4²

ОН²=3,0625-1,96

ОН=1,05

АО=АН-ОН

АО=4,8-1,05=3,75 см

Ответ: Расстояние от вершины В до точки пересечения высот равно 1,75 см

От вершин А и С оно одинаково (треугольник равнобедренный) и равно3,75 см