В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, делит прямой угол в отношении 1:2. Докажите, что она делит гипотенузу в отношении 1:3.

Высота делит прямой угол на углы 60 градусов и 30 градусов. Значит и в треугольнике были углы 30 и 60 градусов.

Если гипотенуза С, то катеты 0,5 * C и Sqrt (3) * 0,5 * C. Гипотенуза делится на отрезки 0.5 С*0,5=0,25*С и Sqrt (3) * 0,5 * C (3) * 0,5 * Sqrt (3) * 0,5 * C=0,75 С

Отношение отрезков 0,25:0,75=1:3

Что и требовалось.

Здесь Sqrt (3) - квадратный корень из 3.