К окружнности, вписаной в триугольник, проведено три касательные, паралельные сторонам триугольника. Эти касательные отсекают от данного триугольника три триугольника, радиусы описаных окружностей которых равняються Р1, Р2, Р3. Найти радиус описаной окружности данного триугольника.

Интересно, где Вы учитесь, если такие задачи задают. Вот решение этой задачи без теории (вывод формул ищите в учебнике или в записях занятий)

Мне не нравится обозначение радиусов, я их буду обозначать r1, r2, r3;

Окружность, вписанная в исходный треугольник (её радиус я обозначу просто r), является вневписанной для каждого из трех отсеченных. Если построить вневписанные окружности к исходному треугольнику, с радиусами ρ1, ρ2, ρ3; то очевидно (в силу подобия отсеченных треугольников исходному) будут выполнены пропорции

ρ1/r = r/r1; и то же самое для двух других.

то есть ρ1 = r^2/r1; ρ2 = r^2/r2; ρ3 = r^2/r3;

Остается подставить это в известные соотношения

1/r = 1/ρ1 + 1/ρ2 + 1/ρ3; то есть r = r1 + r2 + r3;

и

4R = ρ1 + ρ2 + ρ3 - r; где R - радиус описанной окружности.

то есть 4R = r^2 * (1/r1 + 1/r2 + 1/r3 - 1/r); r = r1 + r2 + r3;

это все.

Я бы конечно мог привести вывод этих формул, но Вам бы никогда не задали эту задачу, если бы не выводили их на занятиях.

К примеру, площадь S исходного треугольника равна

S = (p - a) * ρ1 = (p - b) * ρ2 = (p - c) * ρ3 = p*r; откуда

1/ρ1 + 1/ρ2 + 1/ρ3 = (p - a) / S + (p - b) / S + (p - c) / 2 = (3p - a - b - c) / S = p/S = 1/r;

Вывод формулы для R намного сложнее технически, но по сути - то же самое.