В правильном треугольника взята точка, удалённая от его вершин на 3,4 и 5 единиц. Чему равна сторона треугольника?

Если соединить заданную точку с вершинами треугольника, то получим 3 треугольника с боковыми сторонами 3, 4 и 5 и с равными основаниями.

По теореме косинусов составим 3 уравнения, выразив основания "а" через боковые стороны и угол при вершине.

а² = 3²+4²-2*3*4*cosα = 25 - 24*cosα

a² = 4²+5²-2*4*5*cosβ = 41 - 40*cosβ

a² = 5²+3²-2*5*3*cosω = 34 - 30*cosω

Получаем 4 неизвестных: а, α, β и ω.

Поэтому добавляем четвёртое уравнение:

α + β + ω = 2π.

Ниже приведено решение системы этих уравнений методом итераций:

α градус α радиан cos α a² = a =

25 24 150.0020 2.6180 - 0.8660 45.7850 6.7665

41 40 96.8676 1.6907 - 0.1196 45.7830 6.7663

34 30 113.1304 1.9745 - 0.3928 45.7848 6.7664.

С точностью до третьего знака получаем значение стороны равностороннего треугольника, равной 6,766 единиц.