Площадь участка, имещего форму равнобедренной трапеции с острым углом 30°, равна 200.

Какое наименьшее значение принимает его периметр?

Примем высоту трапеции "h", верхнее основание "а", нижнее "в".

Боковые стороны равны 2h, как лежащие против угла в 30 градусов.

Сторона в = а + 2 (2h*cos30°) = a + 2 (2h * (√3/2) = a + 2h√3.

Площадь S = ((a + a + 2h√3) / 2) * h = (a + h√3) * h = ah + h²√3.

По заданию ah + h²√3 = 200.

Отсюда сторона а = (200 - h²√3) / h.

Периметр Р = 2 * (2h) + a + a + 2h√3.

Подставим вместо а её значение относительно h.

P = 4h + 2h√3 + 2 ((200 - h²√3) / h) = (4h² + 400) / h.

Производная функции равна: dP/dh = (4h² - 400) / h².

Приравниваем нулю (достаточно числитель):

4h² - 400 = 0,

h = √ (400/4) = √100 = 10.

Это значение высоты трапеции при минимальном периметре.

Сам периметр равен: Р = (4*10² + 400) / 10 = 800/10 = 80.