Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит высоту, проведению к основанию, на отрезки, длины которых равны 5 см и 13 см. Найдите периметр треугольника.

Дано: ΔАВС

АВ=ВА

(О; r) - вписанная окр.

ВМ⊥АС

ВО=13 см

ОК = r = 5 см

Найти: Р ΔАВС

1) Из прямоугольного ΔВОК по теореме Пифагора

ВК² = ВО² - ОК²

ВК² = 13² - 5² = 169-25=144

ВК=√144 = 12 см

2) ∆ОВК~∆МВС (подобен), т. к. оба прямоугольные с общим углом ∠МВС.

Соответственные стороны пропорциональны:

ВМ: МС = ВК: ОК

18 : МС = 12 : 5

МС = 18 · 5:12 = 7,5 см

АС = 2 · МС = 2·7,5 = 15 см.

3) По теореме Пифагора из ∆ВМС найдем ВС.

ВС² = ВМ² + МС²

ВС² = 18² + 7,5² = 324 + 56,25 = 380,25

ВС=√380,25 = 19,5 см

4) АВ = ВС = 19,5 см

АС = 15 см

Р = АВ+ВС+АС

Р = 2*19,5 + 15 = 54 см

Ответ: 54 см

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны.

y=√ (13^2 - 5^2) = 12 (см)

(x+y) ^2 = (13+5) ^2 + x^2

x^2 + 24x + 12^2 = 18^2 + x^2

x = (18^2-12^2) / 24 = 6*30/24 = 7,5 (см)

P = 2 (2x+y) = 2 (15+12) = 54 (см)