Стороны основания прямого параллелепипеда равны 17 и 25, одна из диагоналей основания - 26. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 30 (град.). Найдите объём параллелепипеда.

Ответ: 3536 √3

А решение?

Опять Пифагоровы тройки, придется решать. Задача очень простая - все, что надо сделать, это выяснить, какая диагональ у основания меньшая (м еньшая диагональ параллелепипеда проектируется на меньшую диагональ параллелограмма в основании).

Меньшая диагональ основания соединяет вершины тупых углов параллелограмма (то есть "лежит напротив" острого). После этого эта меньшая диагональ умножетеся на корень (3) / 3 (это тангенс 30 градусов), получается высота параллелепипеда (она же - боковое ребро). Вычисляем площадь основания (ну, к примеру так - считаем по Герону площадь треугольника со стронами (17,25,26) и умножаем на 2), умножаем на высоту параллелепипеда, объем получен. Все это скучно и долго.

Вот прием, позволяющий всё это проделать устно.

Диагональ 26, боковые стороны 17 и 25 образуют треугольник, который "составлен" из двух Пифагоровых треугольников со сторонами (7, 24, 25) и (10, 24, 26), приставленных друг к другу катетами 24 так, чтобы катеты 7 и 10 вместе составляли сторону 17. На самом деле это просто означает, что если в треугольнике со сторонами (17, 25, 26) провести высоту к стороне 17, то она будет равна 24 и разобьет сторону 17 на отрезки 7 и 10. Уже ясно, что угол между сторонами 17 и 25 острый (это угол в прямоугольном треугольнике), и поэтому 26 - меньшая диагональ (и высота параллелепипеда равна 26*корень (3) / 3);

Площадь треугольника (17, 25, 26) равна 24*17/2, а площадь основания в 2 раза больше, то есть 24*17.

Ответ такой - объем равен 24*17*26*корень (3) / 3 = 3536*корень (3)