Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y=f (x), осью абсцисс и прямыми x=a, x=b. Сделать чертеж

f (x) = 3x-2x^2, a=0, b=5

Для решения надо найти неопределенный интеграл от f (x), затем воспользоваться теоремой о переходе от него к определенному интегралу, который и дает величину площади фигуры.

f (x) = x (3-2x) f (x) = 0→x=0 x=1.5

∫f (x) dx=3x²/2-2x³/3+c=F (X)

определенный интеграл равен F (b) - F (a), для вычисления площади удобнее взять часть параболы над осью Х и часть под осью Х. При этом

S=|F (1.5) - F (a) | + |F (b) - F (1.5) | = |3/2*1.5²-2/3*1.5³|+|3/2*5²-2*5³/3 - (3/2*1.5²-2*1.5³/3) |=

= |3.375-2.25|+|37.5-83.3-3.375+2.25| = 1.125+|-46.925|=1.125+46.925=48.05

в расчете взято примерное значение 2/3*5³ ≈83,3