Найдите значения а, при каждом из которых уравнение x^2 + (a+4) ^2=|x-4-a|+|x+a+4| имеет 1 корень

Заметим, что если x - корень уравнения, то и - x - корень уравнения. Так как корень уравнения должен быть всего один, то это x = 0. Подставляем:

0 + (a + 4) ^2 = |0 - 4 - a| + |0 + a + 4|

(a + 4) ^2 = 2|a + 4|

|a + 4|^2 - 2|a + 4| = 0

|a + 4| * (|a + 4| - 2) = 0

|a + 4| = 0 или |a + 4| = 2

a = - 4 или a = - 6 или a = - 2

Проверяем, что при таких значениях a действительно получается один корень.

1) a = - 4.

x^2 = 2|x| - есть не только корень x = 0, но и x = + - 2, не подходит

2) a = - 6, a = - 2

x^2 + 4 = |x + 2| + |x - 2|

Если - 2 < = x < = 2, то уравнение равносильно такому: x^2 + 4 = 4, корень x = 0

Если |x| > 2, то уравнение получается таким: x^2 + 4 = 2|x|, у этого уравнения нет корней.

Итого, при таких a получается единственный корень.

Ответ. a = - 6 или a = - 2.