Двое играющих по очереди увеличивают натуральное число так, чтобы при каждом увеличении разность между новым и старым значениями числа была бы больше нуля, но меньше старого значения. Начальное значение числа равно 2. Выигравшим считается тот, в результате хода которого получится 2012. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнёр? Найдите сумму всех выигрышных позиций (2012 мы тоже считаем выигрышной).

Назовем состоянием количество очков до хода игрока. Состояние выигрышно , если приводит к выигрышу игрока, чей сейчас ход, и проигрышно иначе.

Все состояния от 1007 до 2011 с очевидностью выигрышные (до 2012 остаётся только один ход).

1006 - проигрышное (любым ходом переходим в выигрышное состояние 1007 - 2011).

Состояния 504 - 1005 - выигрышные (можно следующим ходом перевести игру в проигрышное состояние 1006).

503 - проигрышное (дальше выигрышные 504 - 1005).

252 - 502 - выигрышные (дальше в 503).

251 - проигрышное (252 - 501)

126 - 250 - выигрышные (дальше в 251).

Можно и дальше так выписывать, но можно сразу написать, что дальше проигрышные состояния 125, 62, 31, 15, 7, 3.

Дальше остаётся заметить, что выигрышные позиции (которые нужно найти по условию) - это проигрышные состояния.

Сумма выигрышных позиций = 2012 + 1006 + 503 + 251 + 125 + 62 + 31 + 15 + 7 + 3 = 4015.

Т. к. 2 - выигрышное состояние, то выигрывает первый игрок.