Найти четыре первых члена

разложения в ряд Маклорена решения задачи Коши.

y"-3y'-4xy^4=sinx, y (0),

y' (0) = 2

Найти четыре первых члена разложения в ряд Маклорена решения задачи Коши.

y"-3y'-4xy^4=sinx, y (0), y' (0) = 2

Вопрос чему равен y (0).

При решении задачи принял, что у (0) = y' (0) = 2.

Хотя может быть любое другое значение.

Решение:

Для представления решения в виде ряда Маклорена необходимо найти первые четыре отличные от нуля значения y (0), y' (0), y" (0), у"' (0).

По условию задачи у (0) = y' (0) = 2 Выразим из уравнения y" (0):

y" - 3y' - 4xy^4 = sin (x)

y" = sin (x) + 3y' + 4xy^4

y" (0) = sin (0) + 3y' (0) + 4*0*y (0) ^4 = 3*2 = 6

Продиференцируем уравнение и найдем у"' (0)

y"' - 3y'' - 4y^4 - 12xy³ = cos (x)

y"' = cos (x) + 3y'' + 4y^4 + 12xy³ = cos (x)

y"' (0) = cos (0) + 3*6 + 4*2^4 + 12*0*2³ = 1+18+64 = 83

Окончательно получим:

Ряд Mакларена y = y (0) + y' (0) * x+y" (0) x²/2! + y"' (0) x³/3! + ...

y = 2 + 2x + (6/2!) x² + (83/3!) x² = 2 + 2x + 3x² + (83/6) x³