В прямоугольнике тоска касание вписанной окружности делит гипотенузу на отрезкт 7 см и 10 см. найдите периметр треугольника если радиум окружности равен 4 см

Дано: ∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) - вписанная,

K, M, F - точки касания со сторонами AC, AB, BC,

BM=4 см, AM=6 см.

Найти:

/[{P_{/Delta ABC,}}{S_{/Delta ABC}}, r./]

Решение:

1) По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки,

окружность, вписанная к прямоугольный треугольникAK=AM=6 см,

BF=BM=4 см,

CK=CF=x см.

2) AB=AM+BM=6+4=10 см,

AC=AK+CK = (6+x) см,

BC=BF+CF = (4+x) см.

3) По теореме Пифагора:

/[A{C^2} + B{C^2} = A{B^2}/]

/[{ (6 + x) ^2} + { (4 + x) ^2} = {10^2}/]

/[36 + 12x + {x^2} + 16 + 8x + {x^2} = 100/]

/[2{x^2} + 20x - 48 = 0/]

/[{x^2} + 10x - 24 = 0/]

По теореме Виета,

/[{x_1} = 2,{x_2} = - 12./]

Второй корень не подходит по смыслу задачи. Значит, CK+CF=2 см, AC=8 см, BC=6 см.

4)

/[{P_{/Delta ABC}} = AB + AC + BC,/]

/[{P_{/Delta ABC}} = 10 + 8 + 6 = 24 (cm),/]

/[{S_{/Delta ABC}} = / frac{1}{2}AC / cdot BC,/]

/[{S_{/Delta ABC}} = / frac{1}{2} / cdot 8 / cdot 6 = 24 (c{m^2}),/]

/[r = / frac{{AC + BC - AB}}{2},/]

/[r = / frac{{8 + 6 - 10}}{2} = 2 (cm)./]

Ответ: 24 см, 24 см², 2 с