докажите, что перпендикуляр проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенный из этой же точки к этой прямой.

Если из точки вне прямой опустить перпендикуляр и провести наклонную, то получится прямоугольный треугольник. А в любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Прямой угол в прямоугольном треугольнике естественно больше любого острого угла, значит и сторона (гипотенуза) лежащая против него будет всегда больше, чем любой из катетов, лежащих против острых углов. Для любых углов перпендикуляр будет меньше любой наклонной проведенной из той же точки.

Все очень просто:

Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки к прямой, меньше всякой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Отрезок АС является перпендикуляром к прямой ОВ, а АМ - одна из наклонных, проведённых из точки А к прямой ОВ. Требуется доказать, что АМ > АС.

В / / МАС отрезок АМ является гипотенузой, а гипотенуза больше каждого из катетов этого треугольника. Следовательно, АМ > АС. Так как наклонная АМ взята нами произвольно, то можно утверждать, что всякая наклонная к прямой больше перпендикуляра к этой прямой (а перпендикуляр короче всякой наклонной), если они проведены к ней из одной и той же точки.

Верно и обратное утверждение, а именно: если отрезок АС меньше всякого другого отрезка, соединяющего точку АС любой точкой прямой ОВ, то он является перпендикуляром к ОВ. В самом деле, отрезок АС не может быть наклонной к ОВ, так как тогда он не был бы самым коротким из отрезков, соединяющих точку А с точками прямой ОВ. Значит, он может быть только перпендикуляром к ОВ.

Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, принимается за расстояние от данной точки до этой прямой.

ВОТ КАК ТО ТАК.